设f(x)在区间[0,1]上的图像是连续不间断的一条曲线，又设f(x)只取有理值，且f(1/2)=2,试证明：f(x)=2

因为任意两个有理数之间，必有无理数。
所以如果函数值还能取别的有理数，则不可能连续。
所以函数值只能取2
所以f(x)=2

下面证明任意两个有理数之间，必有无理数
设有理数a和b，a<b
则m=a+π(b-a)/4是无理数
m-a=π(b-a)/4,因为b>a,所以m-a>0,m>a
b-m=b-a-π(b-a)/4=(b-a)(1-π/4),b-a>0,1-π/4,所以b-m>0,b>m
所以a<m<b
所以任意两个有理数之间，必有无理数

其中m=a+π(b-a)/4这个分母4也可以是其它的数，只要是大于π的有理数即可。